1966 doğumludur. Eğitimini Gülpınar'da tamamladı. Askerlik görevini tamamladıktan sonra yurt dışına gitti. 1998 yılında Türkiye’ye dönüş yapan Baymışoğlu, 2000 yılında kendi akaryakıt istasyonunu kurdu. 2009 yılında yapılan yerel seçimlerde Gülpınar Belediye Başkanı seçildi. 2014 yılında yeniden başkan seçilen Baymışlıoğlu, Almanca ve İtalyanca bilmektedir. Evli ve 4 çocuk babasıdır.

Mustafa Baymışlıoğlu, 31 Mart 2019 Yerel Seçimlerinde Ak Parti Aksaray Gülpınar Belde Belediye Başkan adayıdır.