Ankara Mamak'ta 1968 yılında doğan Murak Köse, ilk, orta ve lise öğrenimini Abidipaşa'da tamamladı. Üniversite eğitimini ise Hacettepe Üniversitesi Fizik Mühendisliği Bölümü'nde tamamladı. Selçuk Üniversitesi'nde Siyaset Bİlimi alanında yüksek lisans eğitimini tamamladı. Doktorasını Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi'nde Sosyoloji Bölümünde yapmaya devam ediyor.

AK Parti çalışmalarına Mamak İlçe Teşkilatında başladı ve Çankaya İlçe Başkan Yardımcısı olarak devam etti. 2003 ve 2009 yıllarında olan AK Parti 1. ve 2. Olağan Kongreleriyle yönetim kurulu üyeliğinde bulundu. Ayrıca 2014 yılında AK Parti Ankara İl Başkan Yardımcılığı yaptı. Ankara Büyükşehir Belediyesi ve Altındağ Belediyesi 1. Sıra Meclis Üyeliğini 2009-2014 yılları arasında yaptı ve Altındağ Belediyesi 1. Sıra Meclis Üyeliği, Encümen Üyeliği ve Komisyon Başkanlığı yaptı. AK Parti'den Ankara 1. Bölge Milletvekili adaylığnı 2015 yerel seçimlerinde koydu.

Amerika Birleşik Devletleri Chicago, Illinois Üniversitesi Sosyoloji Bölümünden “Şehir, Belediyecilik ve Kentsel Dönüşüm” alanında 2014-2015 yıllarında çalışmalar yaptı.

Murat Köse evli ve 2 çocuk sahibidir. Ankara, Mamak İlçesi için 31 Mart 2019 tarihinde yapılacak Yerel Seçimlerde AK Parti'den Belediye Başkanı adayı oldu.